Como habrás visto en el ejemplo anterior, la técnica arreglos simples no cuenta exactamente la cantidad de soluciones al problema, puesto que el orden en que seleccionamos los elementos disponibles para hacer conteo no genera casos distintos.
Esto se debe a que para formar una recta preciso dos puntos (agrupamos los elementos de a dos); sin embargo, identificamos que al cambiar el orden de los puntos en la recta no encontramos distintos casos (ej. la recta AB es la misma que la BA). Por lo tanto por cada una de las soluciones del arreglo, hay dos soluciones idénticas.
Por este motivo, para conocer la solución correcta podemos usar el resultado del arreglo y dividirlo entre dos:
A_6^2 /2 = 6 x 5/2= 30/2=15
Ahora bien, analizando más detenidamente la estrategia presentada, notamos que la cantidad de casos repetidos en el arreglo se puede contar como una permutación de dos (tomamos dos elementos para dos lugares), de este modo tenemos que:
A_6^2 /P2 = 6 x 5/2= 30/2=15
Por consiguiente, la solución del problema es 15 rectas distintas. Esta forma de realizar el conteo es propia de las Combinaciones Simples.
Los autores Silvera y Gallo (Matemática 2° Bachillerato Núcleo Común; 2014; p.183) definen a las combinaciones de la siguiente manera:
Definición: Llamamos combinaciones de m elementos distintos de orden n a las configuraciones de n elementos distintos elegidos de los m disponibles, de tal forma que dos configuraciones cualesquiera difieren en por lo menos un elemento.
En general, el número de combinaciones de m elementos de orden n lo escribiremos:
A m/n
m → Número de elementos disponibles
n → Número de elementos de cada combinación
m y n son números naturales con m ≥ n
Como verás, aplicamos una combinación cuando en el conteo de casos se cambia el orden de los elementos y no se generan casos distintos.
Teniendo en cuenta lo que hemos descubierto, podemos calcular la combinación usando el siguiente criterio:
∁ m/n
es el cociente entre el arreglo
A m/n
y la permutación de n
∁ m/n = A m/n/Pn