¿Los números primos son también primos entre sí?
¿Los números primos son también primos entre sí?
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Objetivos
Este recurso te llevará a:
- Conocer cuáles son los números primos y para qué nos sirven,
- Aprender qué significa "ser divisor de..."
- Saber calcular el Máximo Común Divisor y
- Conocer qué significa que algunos números se llamen primos entre sí
Comencemos con un video...
Transcripción del video
Los números primos son aquellos números que son divisibles por sí mismos y por uno.
Por ejemplo el número dos ustedes lo pueden dividir por dos o lo pueden dividir por uno.
El número cuatro sin embargo uno lo puede dividir por uno por dos y por cuatro, o sea, el 4 / 2 da exacto, también eso es lo que uno no quiere.
Esos son los no primos.
El 5 por ejemplo sí que se divide únicamente por 5 y por 1, el 7 también por 7 y por 1.
Lo que quiero hacer ahora es mostrarles un ejemplo en donde hay una diferencia muy clara entre un número primo y un número no primo que se llama compuesto.
Supongamos que hay 48 sillas para armar un auditorio para una charla.
Por ejemplo pueden acomodarse en seis filas de ocho sillas, cada una cuatro filas de doce sillas o bien ocho filas de seis sillas, o bien tres filas de 16 sillas, etcétera.
Ahora, imagínense que se rompe una, quedan nada más que 47, ahora las podemos seguir dividiendo en distintos grupos de filas de manera que quede todo simétrico y bien ordenado.
¿es posible encontrar un número que nos permita armar filas exactamente iguales?
Si queremos armar filas de dos sillas nos sobra uno.
Si queremos armar filas de tres sillas nos sobran dos.
Si quisiéramos armar filas de cuatro sillas nos van a sobrar tres.
No importa cómo queramos acomodar las siempre, siempre nos van a sobrar sillas.
La única forma de acomodar las 47 sillas es armar una única fila de 47 ó 47 filas de una sola silla.
Lo que es poco práctico y además necesitaríamos un auditorio muchísimo más grande.
Ahora claro, el número 48 es un número que se escribe como producto de muchos números primos.
Mira, al 48 podemos verlo como 6 por 8, pero ni 6 ni 8 son primos, con lo cual el 6 es 2 por 3 y el 8 es 2 por 2 por 2 con lo cual el número 48 queda descompuesto en el producto de 4 números 2, y un 3 o sea 2 por 2 por 2 x 2 por 3 y esta es la única forma de descomponer al 48, como producto de números primos y no se puede seguir descomponiendo porque los números primos son indivisibles.
Justamente por eso se llaman primo los números primos; vienen a ser algo así como los bloquecitos más chiquititos de los cuales están compuestos todos los números.
O sea un número es primo o se escribe como producto de muchos primos o de algunos primos pero en definitiva los números primos son los más chiquititos.
Los bloquecitos son algo así como los genes dentro del cuerpo humano, o si ustedes quieren, como los átomos componiendo la materia, por eso como el número 48 está compuesto de tantos números primos es que uno puede hacer tantas divisiones en filas como hemos visto recién.
En cambio ya con el 47 todas esas posibilidades se esfuman.
¿cómo hacer para determinar entonces si un número es primo o no?
Hace muchos siglos alguien conocido con el nombre de eratóstenes en alejandría diseñó un método.
Un método que se hizo muy famoso y es muy sencillo y se llama la criba de datos.
Tenés aquí está.
Escribimos todos los números del 1 al 100, el 1 no se considera primo y por eso lo tacha.
El primer número sin tallar es el 2, ese es el primer primo el número 2, pero todos los múltiplos de dos mayores que el 2 no son primos y por eso los tacha, el siguiente número sin tachar es el 3 que es el segundo número primo pero a continuación tachamos todos los múltiplos de 3 que siguen al 3.
El siguiente número sin tachar es el 5 que resulta ser el tercer primo y a continuación tachamos todos los múltiplos de 5 que siguen y así sucesivamente los sobrevivientes de este campeonato de tachaduras van a ser los números primos que hay entre el 1 y el 100.
Y este procedimiento se puede hacer no solamente para los primeros 100 números sino para la cantidad de números que uno quiera.
Esto permite determinar si un número es primo o no.
Puede ser una tarea tediosa pero en definitiva se trata solamente de saber dividir.
Les voy a contar para qué se usan los números primos en realidad.
El que se los va a contar es un experto en criptografía que tiene la argentina, el doctor hugo scolnik.
Los números primos se utilizan fundamentalmente para hacer lo que se llama firma digital, que es una técnica que permite que uno puede hacer digamos operaciones en internet firmando las como si estuviera presente con lápiz y papel o tinta y etcétera.
Entonces eso consiste en que cada persona tiene dos claves, una que se publica por su gran clave pública y otra privada que es secreta pero ambas tienen un número de n en común, ese número es el producto de los números primos y son primos tan grandes que es fácil multiplicarlos para conseguir ese número n.
Pero dado el n es imposible volver para atrás y conseguir los números primos que lo componen ahí radica su seguridad.
O sea cuando uno dice 10 ¿cómo se descomponen factores primos 2 por 5 que son muy simples?
Ahora sí el número tiene 300 dígitos ya la cosa no se puede hacer ni aún con las computadoras más poderosas que existen.
Lo interesante es que hace dos mil trescientos años se generaron resultados que en ese momento era en ciencia pura, o sea, no tenía ninguna aplicación durante más de dos milenios.
La humanidad vio cómo se inventaban cosas en la parte quizás más pura de la matemática.
Es la teoría de números sin ninguna aplicación concreta y hoy en día esos resultados, tal cual están, se utilizan para todo el comercio electrónico mundial, que es algo que mueve miles de millones de dólares.
Entonces creo que es una excelente elección sobre el hecho de que hay que apoyar a la ciencia en todas sus dimensiones porque uno nunca sabe cuándo algo se va a volver aplicable.
Y entonces los números primos y sus propiedades que en principio parecían no tener conexión con la realidad, sin embargo la manera de tener certeza de que cuando uno manda el número de tarjetas de crédito por internet y quiere estar seguro de la privacidad y la seguridad, está relacionado con los números primos y la criptografía.
Un cajero automático cuando uno va a retirar dinero es decir los números primos también están metidos en nuestra vida cotidiana
Recurso creado en el marco del Postítulo "Innovación en las Prácticas con el uso de Recursos Educativos Abiertos", Ceibal y Consejo de Formación en Educación (CFE) de la ANEP - 2023
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