De oro

Ya sabemos lo que significa proporción. La proporción es la igualdad entre dos razones. Entonces, tomamos el largo y el ancho de dos rectángulos y expresamos estos lados como razones para saber si son o no proporcionales. En el caso de que ambas razones sean iguales, luego de simplificarlas si fuera necesario, podremos afirmar que los dos rectángulos son proporcionales o semejantes. Dado que una razón es la relación que podemos encontrar entre dos números mediante la división, el cociente de las razones también nos aporta información.

Cuando la relación entre los lados de un rectángulo nos da como resultado este número tan especial, con infinitos lugares luego de la coma, se denomina "de oro" o "áurea". El número obtenido se denomina con la letra griega "fi", que luego podrás averiguar cuál es su origen.

Analicemos el siguiente rectángulo: sus lados miden, respectivamente, $a$ y $b$. El lado $b$ lo podemos pensar como $a + c$, y de esta manera podríamos ver el rectángulo inicial compuesto por un cuadrado de lados $a$ y un rectángulo menor cuyos lados son $c$ y $a$. Buscando relaciones, si expresamos el lado $b$ como la razón entre $a$ y $c$, y el cociente nos da como resultado el número áureo, de seguro empezamos a comprender que esta relación es un tanto especial. Además, si averiguamos el cociente de $b$ dividido por $a$, el resultado sigue siendo el mismo. Esto ocurre cuando estamos frente a un "rectángulo de oro".

Busquemos un ejemplo: en este rectángulo, $a$ mide 61 cm, 803 mm; $c$ mide 38 cm, 197 mm; por lo tanto, $b$ mide 100 cm. Ahora, ¿estaremos ante una proporción áurea? Analicemos la relación entre $a$ y $c$ mediante la razón $a/c$; su resultado es aproximadamente 1.,18. Ahora, si analizamos la relación entre $b$ y $a$, siguiendo el mismo procedimiento, tendremos que el resultado es el mismo.

Pero hay más: en los rectángulos dorados, si descomponemos el rectángulo en un cuadrado y un rectángulo menor, este también permite una nueva descomposición, donde la relación sigue siendo la misma. Podemos hacerlo infinitamente, obteniendo siempre el mismo cociente, que es el número dorado.